6. SECCIONES CÓNICAS
Una sección
cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono
circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera:
La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso
especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)
|
| 6.1 LA PARABÓLA | ||||
|
|
||||
| Definiciones
i. Sea DD
una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la
recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico
de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta
DD.
ii. La recta dada DD se llama
DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace
referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota
por PDD-F.
Esto es:
Observaciones:
i. Al trazar por F la
perpendicular
 a la directriz.
Se llamará  : la
distancia del foco a la directriz.
ii. Sea V el punto medio del
segmento
 . Como  ,
entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE
de la parábola.
El lugar correspondiente a la parábola
es simétrico respecto a la recta
. En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta
, entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente
al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces,
, lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.
En esta sección sólo
se considerarán parábolas con el vértice V en el origen
de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes
x ó y (fig. 6.1.2.)
Sea P(x, y) un punto de la parábola
PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces,
 .
Pero, 
y 
Luego,
Elevando al cuadrado ambos miembros
de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene:
 ,
y simplificando queda finalmente,
 (1)
Recíprocamente, sea P(x, y)
un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que
P e PDD-F.
Por hipótesis,
(2)
Se debe probar que
De esta forma se ha demostrado la
parte i del siguiente teorema.
TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)
i. La ecuación
de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por directriz la
recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3). Recíprocamene si un punto P del
plano, satisface (3) entonces P x PDD-F
ii. La ecuación
de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la
recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)
tomado de http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Parabola.html
| ||||
No hay comentarios:
Publicar un comentario